基数效用函数最主要的构造方法

   不确定事件导致了风险,对不确定事件的选择可以建立一个从事件集D映射到实数的基数效用函数u,接下来我们分析如何用基数效用函数构造一个风险态度划分的理论体系.

 

   由前面的分析,D中的元素除了包括确定事件x, y以外,还包括不确定事件pr&(1- p)y,这类事件我们称为不定事件,记为G(x, y:p),于是序保持公理可写成:任意x,y∈D,x>y,a,β∈[0, 1],记不定事件G =G(x, y:a), G2 = G(x, y:β),则G> Gr的充要条件是a>β.中值公理可以写成:任意r, y, z∈D,若x>y>z,则存在唯一p∈(0, 1),构成不定事件G(x, z:p),满足G(x, z:p)~y.强独立性公理可写成:若x, y∈D, x> y,对任意p∈(0, 1)和任意z∈D构成的不确定事件G =G(x,z:p)和G2=G(y, z:p)有G> G.中值公理表示一个不定事件G在给定工x, y∈D且x>G> y的条件下唯一对应(0, 1)上的一个实数,一个不定事件优于另外一个不定事件的充要条件是它们对应的实数有这种关系.强独立性公理表示加入第三个不定事件不改变原先两个不定事件的优劣关系.基数效用函数进一步给出了不确定事件中G(x, y:p)的效用可以写成u(G) = pu(.x) +(1- p)u(y),即若z~G[x, y:p(z)],则z的效用函数定义为期望效用u(z) = p(z)u(x)+(1一p(z))u(y).

 

   下面两个假设对于理性投资者来说也是始终成立的.其一,投资者总是喜欢更多的商品或财富,其二,投资者在进行选择时总是追求期望效用最大化.

 

   任意假设投资失去1000元的效用为-10,没有损益时的效用为0.我们设计如下问题:不定事件为以概率a赢取1000元和概率1-a输掉1000元,问a取多少时不定事件与不输不赢相当?即0~ G(1000, - 1000, a),或者u(0) = au(1000) +(1 - a)u(- 1000).

 

   在基数效用函数的体系下,这样的a是唯-的.假若某投资者认为a=0.6,则解方程可得u(000)=6.7.重复以上过程,我们就可以构造出投资者的效用函数.