效用函数的基本定义与公理

   人们在生活中每天都会遇到选择问题.在选择商品时扮演消费者的角色,在选择金融产品时扮演投资者角色.假设人们面临着一个选择集B,必须要将集合中的元素-一根据优劣程度排列出来.例如,在餐厅选择菜单时会有各种花色的蔬菜,假设商品种数为n种,消费者除了将这n种菜的优劣顺序排出以外，还需将这n种商品不同份额组合以后的菜谱进行序.比如:{1份鱼,1份牛肉,0.5份牛肉+0.5份......

 

   上面的选择集B我们可以看作是一个Euclid 空间R"的凸的子集.凸集表示对于任意x，y∈B, x+(1-a)y∈B, Va∈[0,1].也就是我们将选择集中的基本元素进行线性组合后也属于选择集. Euclid 空间的任意元素x= (x, .. x)∈B表示x是一个商品数量的向量,x是第i个商品的数量.接下来我们通过公理构造生成一个选择关系“≥".对于任意两个元素x和y,y= (y，y... y,), x≥y表示x优于y或者x与y无差异.

   公理1(可比性)对任意一对元素x, y∈B,要么x≥y,要么y≥x.

   公理2(自反性)对任意元素x ∈B,x≥x.

   公理3(传递性)对任意元素x, y, z∈B, z=(z, z, ...z,),如果x≥y, y≥z,则x≥z.

 

   若没有可比性,则表明至少存在一对元素无法判定谁最优.自反性表明同种商品之间是无差异的传递性表明选择是一致的.为了便于理解本章的定理和公理,我们定义-一个字典序.字典序的比较类似于单词按照字母顺序进行排列的排列顺序,如果(工，x)∈B且(y, yz)∈B,则(xn, x)≥(y, y2)的充要条件是当x>h或x=y时x2≥y.

 

   首先字典序满足可比性,如果(x, xz)∈B且(y, yx)∈B,则x>y或n>x或x=y.如果x:>y,则(x, x:)≥(yr，y:).如果y1 > x,则(y, yz)≥(x, x2),如果工= y:,则将x2与yr进行比较，即任意- -对元素都可以通过“≥"关系比较其偏好关系.

 

   再看自反性.对于任意(x，x:)∈B,x=x, xr≥x:,因此(工，x2)≥(工，x2).最后证明传递性.取任意三个元素满足(x，x2)(y, yx)≥(z，z),则存在如下四种可能性:

   (1)x> y,且y>对;

   (2) q> yi, yI =名,且y:≥Zz;

   (3)工= y,且xs≥yz,且y> z;

   (4)工= y,且x:≥y?,且y = ε,且y:≥zz.

   上述四种情况都表明(x, x2)≥(z, z2).