期权定价模型的公式解法及关键

   由于事实上许多衍生产品并不存在封闭解,人们开始尝试其他的方法，包括二叉树法、近似解、数字解和Monte Carlo技术.

 

   1.二叉树法

   二叉树模型是最传统的方法.它的特点是繁琐但很精确,它将标的资产的价格波动分为两种情形,并通过多阶段分析得到最终结果.

 

   2.近似解

   数学上认为任何连续函数都可以通过多项式逼近,Johnson(1983年)在此基础上发展了一个用于求解美式看跌期权的公式，但是由于涉及输入参数的变化范围,此公式不够精确.Macmillan(1986年), Barone和Whelay(1987年)分别提出了更加精确的近似公式,通过对微分方程的近似公式进行求解而得到结果,虽然输入参数选取范围上受到一定的限制,但它仍被广泛地使用.

 

   3.数字解

   前面提到在用于美式看跌期权定价的Geske一Johnson封闭解中存在无穷数项, Geske和Johnson(1984年)用数字方法得到了这个公式的近似解,这一方法即Richardson 外推法.因为一一个精确公式 的近似解毕竟优于一个近似公式的精确解,因此相比Ber一one和Whelay的方法, Richardson外推法更为看好.同时,近年来计算机技术的迅猛发展也导致近似解不再流行,而数字解更具有吸引力.

 

   4. Monte Carlo技术

   Boyle(1977年)将Monte Carlo模拟方法引入了期权领域.在定价期权时,会产生上万种随机结果,这是由于标的资产随机变化的结果.MonteCarlo模拟方法通过对标的资产的模拟得出期权价格的随机分布情况,然后对期望值按无风险利率进行贴现即得.Monte Carlo技术在如今仍受到极大关注的一个重要原因是它能对许多复杂衍生产品进行精确定价.现在研究者们正在致力于完善Monte Carlo技术,如Lehociky(1997年), Paskov(1997年)和Newton( 1997年)的研究。

 

   在几乎所有的期权定价模型中,最关键的参数就是标的资产的波动率,大多数期权对波动率这一不可观察的变量高度敏感.为了取得期权定价,必须估计波动率。第一个常用的方法是用最近的历史波动率作为远期波动率的预测，这就是Engle(1982年)提出的条件异方差(ARCH)模型,现在该模型已经发展成为一个被用来估计波动率的ARCH族( ARCH Family)模型.另外一个常用方法是采用隐含波动率.令由期权定价公式得到的理论期权价格与当前市场交易的期权价格相等时所求出的波动宰就是隐含波动率.隐含波动率的研究集中在它的估计方法和预测能力两个方面.

 

   Backers(1981年) ,Canina和Figlewski( 1993年) , Mayhew( 1995年)都认为隐含波动率用来预测真实波动率的效果并不好.近来,瞬时波动率的可变性受到了一些关注.大多数期权定价模型以波动率不变为假设条件,而事实上波动率本身是一个随机变量,因此,经常被称为随机波动率.假如波动率本身是有风险的，那么在把它代入期权定价模型时,需要对波动率风险也进行套期保值,虽然已经开发出了以波动率为标的资产的衍生产品,但从技术上来说对波动率风险进行套期保值是不可能的.Ball和Roma(1994年)对随机波动率进行了深入的研究.在期权定价研究中一个令人困惑的现象是给定了标的资产后,波动率会随时间和执行价格而变化.这个现象也被称为波动率的期限结构.相同标的资产具有相同到期日但由于具有不同执行价格所引起的波动率上的差异被称为“波动率微笑".这个称呼是由隐含波动率随执行价格变化的形状得来,即执行价格偏高或偏低时波动率高，而执行价格在市场价格附近时波动率较低.“波动率微笑"(或者说标的资产含有的波动率不止一个)已被大量研究证实,但结论却不能令人满意.因为假如存在多个波动率,则期权定价模型就难以应用.现在有许多研究已着力于改进期权定价模型,使之适应波动率变化的情况.在这个领域中最著名的研究工作有Rubinstein .(1994年), Dupire(1994年)和Derman, Kani(1994年)